Как се пише: чеша (се) или чешам (се)?

Правилно е да се пише чеша (се). Глаголът е от I спрежение и формата му за 1 л. ед.ч. сегашно време завършва на -а.

Кучето клекна до мен и ме побутна, за да продължа да го чеша.
Чеша се по врата и се напъвам да си припомня нещо.