Правилно е да се пише съществувам. Правописът на проблемната гласна може да се провери със сродна дума (със същия корен), в която тази гласна е под ударение: казваме същност, също, следователно се пише съществувам.
Съществува ли изобщо щастливо семейство в днешно време?
В Северно Мексико съществува странно място – там двигателите на колите заглъхват, не работят телевизорите.
Днес на много места по света съществуват офшорни зони, станали популярни под наименованието „данъчен рай“.