Как се пише: участвам или учавствам?

Правилно е да се пише участвам. Думата има корен -част- (срв. част, участие, частен).

В Нощта на музеите тази година участват 68 музея.
След като се завърнахме в България, записахме сингъла „Бягам“ и участвахме в доста летни фестивали.