Как се пише: живял, живяла, живяло, живели или живеел, живеела, живеело, живеели?

Това са различни причастия, образувани от глагола живея. Правилната им употреба зависи от конкретния случай.

1. Миналото несвършено деятелно причастие живеел, живеела, живеело, живеели се употребява единствено като сказуемо в изречението. То се включва в състава на преизказните глаголни форми за сегашно време и за минало несвършено време:
   аз съм мислел, ти си мислел, той мислел, тя мислела, то мислело, ние сме мислели, вие сте мислели, те мислели

   Според моите приятели съм живеел монотонно.
   Едно африканско племе дълго време живеело в страх от лъв човекоядец.
   Според финансовия министър сме живеели добре и трябвало да повярваме в това. 

2. Миналото свършено деятелно причастие живял, живяла, живяло, живели се употребява в следните случаи:

   2.1. Самостоятелно – като определение.

   За културата на населението, живяло тук през V век, съдим по археологическите находки.
   Динозаврите са влечуги, живели преди милиони години.

   2.2. Като сказуемо в изречението. В този случай се включва в състава на преизказни глаголни форми.

   Преизказване на минало свършено време:
   аз съм живял, ти си живял, той живял, тя живяла, то живяло, ние сме живели, вие сте живели, те са живели

   Преизказване на минало неопределено време и на минало предварително време:
   аз съм бил живял, ти си бил живял, той бил живял, тя била живяла, то било живяло, ние сме били живели, вие сте били живели, те били живели

   Живял някога един млад пастир, комуто много се искало да се ожени.
   Говори се, че няколко години живяла в Испания, но там не ѝ провървяло и се върнала.
   Роден съм преди 60 години, така че не ми обяснявайте колко добре съм бил живял.
   В исковата молба се твърди, че страните по делото били живели на съпружески начала около година и половина.

   2.3. В състава на формите за минало неопределено време: аз съм живял, ти си живял, той е живял, тя е живяла, то е живяло, ние сме живели, вие сте живели, те са живели.

   Френският град Ажан е известен най-вече с това, че в него е живял Нострадамус.
   Над половината от младоженците в САЩ са живели заедно преди сватбата.

   2.4. В състава на формите за минало предварително време: аз бях живял, ти беше живял, той беше живял, тя беше живяла, то беше живяло, ние бяхме живели, вие бяхте живели, те бяха живели.

   Тапетите бяха със сини платноходки, леглото имаше дървена преграда. Дали тук беше живял дядо Ванс като малък?
   Бяха живели заедно достатъчно, за да разберат, че любовта е любов във всяко време и навсякъде, но става толкова по-силна, колкото повече се приближава до смъртта. (Габриел Гарсия Маркес)

   2.5. В състава на формите за бъдеще предварително време: аз ще съм/бъда живял, ти ще си/бъдеш живял, той ще е/бъде живял, тя ще е/бъде живяла, то ще е/бъде живяло, ние ще сме/бъдете живели, вие ще сте/бъдете живели, те ще са/бъдат живели.

   Ако доживея до 90 години, ще съм живяла повече в условията на демокрация, отколкото по време на социализма.

   2.6. В състава на формите за условно наклонение: аз бих живял, ти би живял, той би живял, тя би живяла, то би живяло, ние бихме живели, вие бихте живели, те биха живели.

   Не бих живял в тази къща за нищо на света!
   Все повече хора не могат да си представят как биха живели без технологичните чудеса на нашия век.